تحليل الألعاب الثنائية ذات المجموع الصفري باستخدام الطريقة البيانية والبرمجة الخطية دراسة نظرية حول حالة تعدد نقاط التوازن في نظرية الألعاب
DOI:
https://doi.org/10.37375/esj.v9i1.4001الكلمات المفتاحية:
الألعاب الثنائية الصفرية، تعدد الحلول، الطريقة البيانية، البرمجة الخطيةالملخص
في النظرية الكلاسيكية لألعاب المجموع الصفري ثنائية اللاعبين (Two-Player Zero-Sum Games)، تؤدي الاستراتيجيات المثلى إلى حل أمثل وحيد يحقق نقطة توازن واحدة فقط لكل من المتنافسين (|v = w|)، وهذا يعنى وجود قيمة واحدة فقط للمتغيرات (pi)، والتي تمثل احتمالات استخدام اللاعب الأول لاستراتيجياته (xi)، وتحقق قيمة المباراة (v)، والتي تعظم الحد الأدنى من العوائد، كما أنه يوجد قيمة واحدة لكل احتمال من احتمالات اللاعب الثاني (qj)، والتي تعكس احتمالات استخدام استراتيجياته (yj) وتكون قيمة المباراة (w)، التي تقلل الحد الأقصى من الخسائر. تركّز هذه الدراسة على تحليل حالة خاصة من حالات نظرية الألعاب، وهي وجود أكثر من نقطة توازن لطرفي الصراع، والتي تعني وجود أكثر من حل أمثل (عدد لا نهائي من الحلول المثلى) لكلا اللعبين، وهو ما يعني وجود أكثر من توليفة من الاحتمالات (pi) تحقق أعلى قيمة لدالة هدف اللاعب الأول (v)، في المقابل يوجد أكثر من توليفة من الاحتمالات (qj) تحقق أدنى قيمة لدالة هدف اللاعب الثاني (w)، وكل ذلك في ظل تحقق علاقة التوازن بينهما (|v = w|). إن ما توصلت إليه هذه الدراسة يتمثل في فهم معمّق لهذه الحالة، من خلال تحديد الظروف التي تفضي إلى وجود أكثر من نقطة توازن، وتحليل التوليفات التي تحقق حلولاً مثلى باستخدام كل من النهج البياني (GM) والبرمجة الخطية (LP)، ودراسة تأثير هذه الحلول على المنافس الآخر، كما درَست إمكانية تعدّد الحلول المثلى لكلا اللاعبين داخل ذات اللعبة
المراجع
- الشيخ، عبد الله محمد. الرمالي، عمر محمد. عبد الله، جمعة عمر. (2025). تحليل تأثير تعدد القيود على نقطة الحل في نظرية الألعاب: دراسة نظرية للمشاكل من نوع (m × 2) أو (2 × n). مجلة جامعة سرت للعلوم الإنسانية، 15(2)، 224–239
- Agrawal, B., Kumar, P. (2022). An Approach of L.P.P method –game problem using simplex method. International Journal of Research and Analytical Reviews (IJRAR), UGC and ISSN Approved-International Peer Reviewed Journal, Refereed Journal, Indexed Journal, Impact Factor, 9 (4), 1269-2348.
- Ashour, M. A. H., Al - Dahhan, I. A., & Al - Qabily, S. M. (2020). Solving game theory problems using linear programming and genetic algorithms. In Human Interaction and Emerging Technologies: Proceedings of the 1st International Conference on Human Interaction and Emerging Technologies (IHIET 2019), August 22-24, 2019, Nice, France (pp. 247-252). Springer International Publishing.
- Constantinos Daskalakis, Aranyak Mehta, and Christos Papadimitriou. A note on approximate nash equilibria. Theoretical Computer Science, 410(17):1581–1588, 2009.
- Ilan Adler. The equivalence of linear programs and zero-sum games. International Journal of Game Theory, 42(1):165, 2013.
- Ji, Y., Li, M., & Qu, S. (2018). Multi-objective linear programming games and applications in supply chain competition. Future Generation Computer Systems, 86, 591-597.
- Justin Dallant, Frederik Haagensen, Riko Jacob, László Kozma, and Sebastian Wild. Finding the saddle point faster than sorting. In 2024 Symposium on Simplicity in Algorithms (SOSA), pages 168–178. SIAM, 2024.
- Kearns, M., Littman, M. L., & Singh, S. (2013). Graphical models for game theory. arXiv preprint arXiv:1301.2281.
- Kumar, S., & Reddy, D. S. N. (1999). Graphical solution of (n× m) matrix of a game theory. European journal of operational research, 112 (2), 467-471.
- Kumar, S., & Reddy, D. S. N. (1999). Graphical solution of (n× m) matrix of a game theory. European journal of operational research, 112 (2), 467-471.
- Maiti, A., Boczar, R., Jamieson, K., & Ratliff, L. J. (2023). Query-Efficient Algorithm to Find All Nash Equilibria in a Two-Player Zero-Sum Matrix Game. University of Washington.
- Nash, J. F. (1950). Equilibrium points in n-person games. Proceedings of the National Academy of Sciences, 36(1), 48–49.
- Nash, J. F. (1951). Non-cooperative games. Annals of Mathematics, 54(2), 286–295.
- Peters, H. (2015). Game theory: A Multi- leveled approach. Springer. Texts in Business and Economics, Berlin Heidelberg, (2nd ed.)
- Thie, Paul R., and Gerard E. Keough. An Introduction to Linear Programming and Game Theory. John Wiley & Sons, 2016.
- Vang, C. (2022). Implementing the Simplex Algorithm to Solve Zero-Sum Games.
- Von Neumann, J. (1928). Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Mathematische Annalen, 100 (1), 295–320
- Von Neumann, J., & Morgenstern, O. (1944/1947) Theory of games and economic behavior. Princeton: Princeton University Press
- Yakov Babichenko. Query complexity of approximate nash equilibria. Journal of the ACM (JACM), 63(4):1–24, 2016.
- Zermelo, E. (1913). Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels. In Proceedings of the fifth international congress of mathematicians (Vol. 2, pp. 501-504). Cambridge: Cambridge University Press.
